El error de la falacia del jugador

A tenor del resultado electoral del 28-A en el que por lo menos los seis primeros partidos han obtenido un número de escaños que resulta ser múltiplo de tres, además de otras coincidencias, me he acordado de la llamada "falacia del jugador", o de Montecarlo, o del apostador.

Tiene su propia entrada en la wikipedia y se refiere a la probabilidad en series de acontecimientos "aleatorios". Vamos a entender aquí aleatorio como el fenómeno causal que depende de variables no contempladas y que tienen igual probabilidad de acontecer.
Se suele usar el ejemplo de la moneda, al 50%. Yo voy a escoger el símil de la baraja de naipes francesa (sin comodines) y sus 4 palos, que arroja una posibilidad del 25%, por resultar más clara para el caso, pero el principio subyacente es el mismo.

Y aquí están los motivos por los que no deberías decirle a un jugador como jugar y por qué su percepción basada en la experiencia no es ninguna falacia, sepa o no dejar a tiempo el juego en el que, no olvidemos, la casa siempre gana.

He de decir que la primera vez que me aproximé a la llamada paradoja de Monty Hall caí de cuatro patas y de alguna manera ésta es mi pequeña venganza. O tal vez me equivoque de nuevo, que cada cual juzgue. No fue hasta incrementar el número de puertas que incluye el problema hasta que vi con cierta claridad la acumulación de probabilidades, aunque en mi defensa he de decir que el planteamiento al que accedí no era del todo correcto.

Pero el caso que nos ocupa aquí es otro. Cualquier jugador de poker que va buscando una jugada de color sabe que la posibilidad de que salga del mazo una carta de su palo es de 1/4, 25% o 0.25. Y eso es cierto visto de forma aislada. Y la falacia del jugados nos señala que "las cartas no tienen memoria" y que ésa es siempre la posibilidad de obtener una carta del palo determinado.

Craso error. Esa estimación probabilística responde a la forma más reducida de información respecto de la serie que supone ir descubriendo cartas del mazo y de la que todos los sucesos forman parte: el fenómeno aislado. No contempla en absoluto el factor serial. ¿Cómo podemos demostrar que el factor serie afecta a las probabilidades del evento aislado? Pues muy sencillo, al menos al nivel teórico. Empecemos:

La baraja francesa completa, sin comodines se compone de 13 naipes distintos multiplicados por los 4 palos, en total 52 naipes. Y, como en el dilema de Monty Hall, podemos llevar el caso al extremo para poder visualizarlo con claridad.

Vamos a imaginar la improbable serie en la que destapando las 13 primeras cartas del mazo se descubren los 13 tréboles de la baraja. Improbable, desde luego, pero no imposible. En realidad, estadísticamente necesario y por lo tanto inexorable.

Y asumiendo que esa serie es posible, ¿quién en sus cabales puede sostener que al destapar el catorceavo naipe tiene un 25% de probabilidades de ser un trébol?
Se puede objetar que el razonamiento es tramposo porque la serie que arroja un mazo está limitada a sus 52 naipes. Y la limitación es cierta, pero todas las demás series tienen su propia limitación.

Pongamos el caso más habitual de la moneda: el total de la serie en el largo plazo ha de converger necesariamente hacia el 50%. Y no es que la moneda tenga memoria, ni falta que le hace. El que ha de tener memoria es el jugador para asimilar el simple hecho de que si sale cuatro veces seguidas cara, hay que tener el alma intrépida y el corazón aventurero para apostar a que la quinta va a volver a salir cara. Y saber muy poco de estadística y creerse que el jugador es imbécil y se juega su dinero en base a percepciones falaces.

Y yo estoy dispuesto a apostar mi escaso dinero. Les planteo la siguiente apuesta, con naipes o monedas, me da igual:

En cada caso de cuatro repeticiones en la serie, los que crean en la mal llamada falacia del jugador que apuesten a que habrá una quinta repetición, yo apostaré por el cambio.
Según los defensores de tal tesis a la larga los beneficios/pérdidas de ambas partes deberían ser iguales si la probabilidad fáctica es del 50%.

Sin embargo me temo que, a la larga, podría vivir sin trabajar, de no ser porque no me parece digno vivir de la estupidez ajena ni quitarle el caramelo a un niño.
Podemos buscar también la forma de hacer el juego con naipes, el resultado será la expresión del mismo principio. Y es que si la posibilidad fuera inmutable como fenómeno aislado no se podría cumplir la convergencia probabilística de la serie.

Del mismo modo vamos a encontrar una relación inversamente proporcional en la cantidad de repeticiones consecutivas y su frecuencia de aparición. Por eso el caso expuesto con los naipes de agotar los tréboles sin retirar ningún otro palo de la baraja se antoja naturalmente improbable. Hagan ustedes, incrédulos, si lo desean, sus cálculos y sus experimentos, pero ante todo: comprendan lo que es una serie y como la probabilidad del evento aislado ha de terminar sometiéndose a la convergencia de la serie.

Así, cada vez que sale cara, la posibilidad de que la siguiente tirada sea cara se va reduciendo ligeramente y lo mismo para los naipes. Uno lo puede tildar de irrelevante, de despreciable pero el equilibrio total de la serie se ha de mantener, del mismo modo que en el universo todo tiende al equilibrio.

Tiene algo de irónico que la "falacia del jugador" sea una absoluta falacia.
No sé porque me habré acordado de esto después de las elecciones, pero no deja de ser una reflexión oportuna.