La elipse elíptica

¿Es posible que todo lo que creemos saber sea incorrecto? Tomamos como prueba de la validez de nuestros conocimientos su demostración práctica, a tenor del llamado método científico. Si funciona experimentalmente valida de forma automática la teoría subyacente.

En realidad hoy en día sabemos que las cosas no funcionan así y que algunas teorías tienen un ámbito de aplicación acotado. Funcionan en un escenario pero no en otro. Estoy pensando por ejemplo en la relatividad. Eso de algún modo debería darnos una pista sobre la cuestión que planteaba al principio.

Que las cosas funcionen no es lo mismo que saber exactamente por qué las cosas funcionan. Eso lo podemos comprobar la mayoría de nosotros cada día con el mero hecho de encender el televisor, el ordenador o responder a una llamada.

Funciona, sí, o al menos la mayoría de las veces, pero ¿sabemos realmente cómo y por qué? Y ahora no me refiero al común de los usuarios de tales tecnologías si no a los propios ingenieros que las diseñan. Lo cierto es que comprendemos en una medida muy limitada el funcionamiento físico, químico y matemático del mundo que nos rodea.

Y para darse cuenta de ello no hace falta acudir a las fronteras últimas del conocimiento y la investigación más puntera, no. No hace falta pensar en física cuántica. Basta con reparar en las bases más elementales sobre las que se sustenta ese gran constructo al que llamamos ciencia, la religión de nuestros días. Ese dios sí que obra milagros que podemos ver todos a diario.

No hay edificio que ascienda recto desde cimientos torcidos y nuestra ciencia, siguiendo con la metáfora arquitectónica, tiene toda la apariencia de una gran torre de Pisa. Si se parte de unas premisas experimentalmente válidas pero erróneas en su comprensión, al profundizar en esa área de conocimiento van a aparecer problemas irresolubles. Y es mucho más difícil volver atrás para enmendar el error que hacerlo bien desde un principio, precisamente porque las premisas testeadas experimentalmente se toman como irrefutables y difícilmente se cuestionan.

¿Es posible entonces que ni siquiera sepamos calcular correctamente el perímetro de una circunferencia? Y no, no me refiero al final del infinito irracional de Pi, una aproximación es a todos los efectos válida. Pero una aproximación correcta.

Pi r2, nos enseñan. Y nos cuentan que esa razón matemática que es pi, la relación entre el radio de una circunferencia y su perímetro o longitud la descubrieron años ha en la Grecia clásica, ya preocupados en cierto modo por su irracionalidad. Pero dejaremos las cuestiones concernientes a la historia para otro capítulo.

Nos dicen que el doble del radio multiplicado por ese mágico número nos dará la cifra que necesitamos. Y aquí es importante reparar en que decir “el doble del radio de una circunferencia” es equivalente a decir diámetro.

Pi r2, diámetro por pi. A efectos prácticos son exactamente lo mismo. Los números que vamos a combinar en la operación son idénticos. En cambio, las imágenes, los conceptos que estamos combinando en nuestras cabezas son bien distintos. Tal vez irrelevante en el corto plazo.

Si la inclinación del pavimento es muy ligera, el primer piso dará la apariencia de estar recto, quizás el segundo y el tercero. Sin embargo si uno pretende edificar hasta el piso 50, podrá comprobar como ese pequeño error inicial, casi inapreciable, “despreciable” en un marco acotado, va magnificándose a cada nuevo piso edificado, con el resultado final de que uno ya no está donde debería estar.

Vuelvo a la analogía del edificio porque es así como funciona la ciencia y como se construye el conocimiento, a hombros de gigantes, como dijera Newton. Admirable sin duda. Pero sin menoscabo al respeto merecido tal vez valga la pena revisar si algunos de esos gigantes cojean.

Podemos complicarlo un poco más, y nótese que estamos hablando de algo tan elemental como el perímetro de un círculo. Volvemos a pi r2. Porque cuando dicen r2, parecen decir que hay que multiplicar, por alguna inescrutable y misteriosa razón, el radio dado, por la no menos misteriosa y mágica cifra 2, el padre de todos los pares (con permiso del cero).

Pero, y he aquí mi duda, ¿debo multiplicarlo por la sinuosa cifra, o debería sumar el valor de dos radios? El resultado, de nuevo, es exactamente el mismo. Que multiplicar por dos es sumar una misma cifra es aritméticamente evidente pero de la manera en que se conceptúa no necesariamente lo es. Entonces cual es la fórmula correcta para calcular el perímetro de la circunferencia, ¿pi r2, diámetro por pi, la suma de un radio y otro, multiplicado luego por pi?

De hecho el caso aún es más grave y puede llegar a despertar suspicacias cuando no levantar sospechas. Lo que a mí me enseñaron en el colegio fue 2pi r. En aras de la tolerancia, alguien de talante conciliador, amigo de todos levantará cordialmente los brazos diciendo: -¡Pero si es lo mismo!

Y en cierto modo podría pasar por serlo, como veremos. Acto seguido añadirá, reafirmándose: ¡Al final es lo mismo! Y cuando dice aquí “final” se refiere exclusivamente a su finalidad que es calcular la longitud de la circunferencia, no al final que pueda cumplir tal fórmula en la caja de herramientas con las que se intenta entender el todo. Este segundo final, que sí es el final, está algo más lejos. Y para este último caso, no, ni de lejos es lo mismo.

Sabrán calcular la longitud de la circunferencia, cogerán los números y escribirán un resultado correcto, pero en realidad, no sabrán que están haciendo. Porque se saben las tablas y se saben la fórmula pero en realidad, lo único que han hecho es aprender un proceso por mímesis.

No conocen los conceptos con los que están trabajando, no llegan a interiorizar sus razones, simplemente memorizan. A mí me sucede cuando voy con más gente a algún lugar. Difícilmente recuerdo el camino, sigues la corriente y ya está. En cambio, si hago ese camino solo recordaré hasta algunos detalles.

De hecho a los alumnos ni siquiera se les acompaña por ese camino de razonamiento, se les teletransporta a ese lugar del saber . Todo en aras de la productividad, de la mal entendida eficiencia, de la funcionalidad. Eso sí, más vale que al despejar una ecuación no se dejen ningún paso.

En realidad la mayoría de jóvenes que salen de los templos del conocimiento que son las universidades, o deberían ser, no son más que los abortos de las mentes creativas que pudieron haber sido. Hay razones culturales pero sobre todo pesan las de la economía empresarial que lleva la batuta de la sociedad. Y así hemos llegado hasta donde estamos, pensando poner un pie en marte sin saber siquiera calcular la longitud de un círculo.

¿Crees que sí que sabemos? En realidad no sabemos ni lo que es un círculo. Llegados a este punto alguien puede pensar que hay muchas maneras de hacer las cosas y sin duda es así: por lo general hay muchas incorrectas y una correcta.

El círculo, no en vano icono de la perfección, no es más que la elipse perfecta de las infinitas elipses posibles, es la elipse cuyos ejes, diámetros o radios, están en equilibrio. No están por un lado los círculos y por otro las elipses, están las elipses y entre ellas, los círculos. Siendo los círculos una infinitesimal parte de las posibilidades que contienen éstas. No es un problema de nomenclatura, es un problema de como organizamos los muebles de nuestras cabezas, por lo general poco amuebladas.

Pero el círculo mola mucho, está de moda. Desde los clásicos griegos por lo menos. Además están siempre las tan cacareadas razones prácticas. Pero cuando las cosas se plantean mal desde el principio las consecuencias no se hacen esperar demasiado. Y más si uno se hace trampas al solitario y en lugar de comprender se dedica a tomar medidas, convertirlas en teoría y, aquí viene lo más grave del error, creer que ha comprendido. Porque de ahí salió la irracionalidad de pi, de nuestra propia irracionalidad. Del mismo sitio que ha salido la irracional física cuántica. Exactamente el mismo proceso, el mismo problema, el mismo lugar.

Calcular el perímetro de una elipse es francamente complejo. Los griegos, en virtud de sus necesidades, encontraron que para el caso del círculo existía una relación constante con el radio de la circunferencia que se mantenía invariablemente en todas las elipses que cumplen la condición de círculo, eso es: una elipse con los dos ejes iguales. ¿Nos da pi la solución mágica al problema del perímetro de la elipse? Definitivamente no. Nos sirve, del mismo modo que a los griegos de hace siglos como aproximación funcional. Pero si nos limitamos a aplicar una fórmula que involucra una constante cuyo origen desconocemos no hemos comprendido absolutamente nada. Y menos si tal fórmula, aunque válida a efectos prácticos, está conceptualmente mal expresada.

Tal vez por eso en los exámenes se requiere la expresión del desarrollo y no sólo el mero resultado. Porque no basta llegar al lugar correcto, además hay que llegar por el camino correcto. Sorprende por lo tanto ver que no se profesa con el criterio demandado.

Sucede entre la longitud y los ejes de las distintas elipses que no es una razón estática como el pi que conocemos. ¿No es entonces pi una de las fabulosas constantes universales, si no la más magnificente de ellas? Pi sigue siendo lo que es y lo seguirá siendo. Lo que debería cambiar son los ojos con que lo vemos.

Cuando uno estudia la geometría de la elipse es fácil reparar en una correlación inversamente proporcional: Partiendo del más estudiado círculo, a medida que uno va alargando uno de los dos ejes que poseen todos ellos sustrayéndolo del otro, encuentra que el perímetro aumenta y el área se reduce, en relación a la medida de sus ejes. Y eso nos devuelve a la noción de la elipse mínima y las mismas bases de la geometría.

Nos dicen que el punto mide 0 en cada uno de sus ejes. Nos cuentan además que no existe, lo cual suele ser motivo de no poco cachondeo. Nos hablan del punto como unidad adimensional. Y qué remedio, hacemos como que nos lo creemos, y eso responderemos el día del examen. Algunos incluso terminan por creérselo.

Al fin nos dan la buena noticia de que, teniendo otro punto más, podremos trazar un segmento entre ellos y dar el salto a la dimensionalidad. Unidimensionalidad, para ser precisos. Ya que un segmento, nos contaban mientras trazaban una gruesa raya de tiza sobre la oscura pizarra, sólo posee longitud. Idealmente, claro.

Y es entonces cuando empieza la fiesta porque con segmentos ya se pueden trazar polígonos, círculos tomándolos como radio, etc, etc. Como suele contar en su charlas Nassim Haramein, yo también miré al punto siempre de soslayo. Dice que no existe pero está ahí, ergo, miente. ¿Es el segmento más de fiar? ¿Y el resto de la geometría euclidiana? Creo que son pensamientos comunes mientras uno traza láminas, ese abstracto plano infinito, con el compás y la escuadra.

Si uno presta atención podrá ver hasta el polvillo de grafito de la mina desmenuzándose sedosamente sobre el papel. Geometría plana, ya. Quizás razones como esa lleven a pensar que el segmento tampoco es de fiar. Quizás esté yo obsesionado con las elipses pero no me cuesta mucho ver al punto como una elipse cuyos ejes valen 0. Si es que el cero existe, claro. Pero eso nos lleva a otras razones más del terreno de la filosofía que no son el tema a tratar aquí.

Podemos salvar la cuestión poniendo una coma tras ese cero, que implica estar por debajo del umbral del marco de referencia y eludir por el momento tal desafío a la razón añadiendo los valores que nos venga en gana para poder trabajar con cosas que sí que existen, que parece más sencillo que trabajar con las que no.

Ahora bien, si queremos dar el salto a la unidimensionalidad, nos hará falta otro punto. O que ese punto estático se mueva, vibre, oscile. Tampoco es el enfoque físico el que corresponde a estas líneas, vamos dejando de lado desvíos a lo largo del camino que habrá que retomar en otra ocasión.

La cuestión es que de un modo u otro hemos conseguido un segmento que yo en mi obsesión interpreto como, sorpresa, una elipse de nuevo, con valor 0 en uno de sus ejes y en el otro digamos que 1. ¿Que por qué uno? Pues porque ¿1 qué? Si no sabemos el que, siempre es 1.

Ya hemos salido de la elipse mínima que es siempre un círculo. El punto. Y ahora lo que tenemos es una elipse muy, muy chafada, deprimida. Al borde del suicidio, se diría. Esa elipse, como nuestros ojos nos revelan y el valor 0 en uno de sus ejes nos demuestra, carece de área. Es todo longitud, todo perímetro. Es el llamado segmento unidimensional. O mejor dicho, su eje mayor es el que representa dicho segmento tal como lo interpretamos nosotros. Si lo tomáramos como perímetro su valor tendría que ser, necesariamente, el doble, por lo menos.

Un pequeño paso para un punto, un gran paso para la geometría. En esta primera elipse más allá del punto podemos intuir lo que se va a convertir en una constante. El pobre punto que se ha tomado la molestia de desplazarse en un eje ha conseguido crear perímetro, longitud, pero no área. Y siempre que se desplace más en un eje que en el otro va a crear más perímetro que área en relación al desplazamiento o medida total de sus ejes respecto al círculo. Esa es la correlación mencionada antes.

Sucede que el círculo (y añadiendo el tercer eje que corresponde a la tercera dimensión, ocurre de forma análoga con la esfera) es la expresión donde se maximiza la relación del área con la suma de sus ejes.

Y aquí quiero hacer una aclaración, una reclamación y una denuncia, todo a la vez. Basta de representar a los pobres círculos con un segmento perdido en su interior partiendo de un peregrino centro en un ángulo capricho de un azar que no existe. Las elipses tienen dos ejes/diámetros, uno mayor y uno menor. Y los círculos no son menos por tener los dos ejes iguales, no es de recibo hacer elipsis de algo nunca mencionado.

Si uno visualiza los dos diámetros o los dos radios en su perpendicularidad concibe las cosas de otro modo, aprovecho para introducir aquí una noción que será de utilidad a la hora de abordar la trigonometría. Y es que, como veremos, si estamos hablando de elipses estamos hablando en cierto modo de triángulos rectángulos.

Pero volvamos a la correlación de la elipse. A mayor equidad entre sus ejes, maximización del área, siempre en relación al valor total de estos. Para muestra, un botón: en una elipse circular cuyos ejes sean ambos de valor 5, suma 10, mayor área que en una elipse con un eje 9 y otro 1, también suma 10. Y que en la elipse 8-2, 7-3 y 6-4.

Y en orden opuesto, a mayor equidad entre ambos ejes, minimización del perímetro. El círculo contiene más con menos. Ése es el culmen del equilibrio. Ése es el paso completo a la segunda dimensión, estirando esa elipse de ejes 0 y 1 hasta el 1-1. Ya tenemos un círculo, ha nacido una estrella. Con permiso del punto, claro.

La cuestión de fondo es que cada elipse tiene una razón diferente entre la suma de sus radios, que no es más que la media de sus ejes, y su perímetro o longitud. La fórmula con pi que utilizamos para la longitud del círculo va perdiendo cada vez más precisión a medida que la circunferencia se va achatando más y más. Pero no es que sea el círculo en realidad más fácil de calcular por naturaleza o porque su ejes respondan a un mismo valor. Es que hemos buscado un razón ad hoc para poder trabajar con mayor comodidad con este tipo de elipses.

No es desde luego mi intención subestimar, creo que ha quedado claro, la geometría del círculo.

Más relevante es señalar que el esfuerzo de nuestro atareado y omnipresente punto que no está creando área, está creando perímetro, siendo la elipse circular el punto central de la combinatoria donde ambos extremos se tocan y el centro se convierte en extremo de los extremos (1-9, 2-8, 3-7, 6-4, 5-5, 4-6, 3-7, 2-8, 1-9) devolviéndonos otra vez a razones más filosóficas. Al final tal vez sea cierto que todo segmento es elipse.

El descubrimiento, desde luego, no trasciende del terreno de lo personal puesto que son cuestiones largamente conocidas y estudiadas. Mucho más de lo que esta somera reflexión tiene por finalidad. Pero el enfoque, el trazado, la proyección, esos cimientos que han de estar correctamente nivelados para que la edificación pueda crecer en forma sólida y correcta, no es menos importante.

Ahora que ya sabemos lo que es un círculo, tal vez podamos intentar aproximar la longitud de su perímetro. Sabiendo, eso sí, que no necesitamos para nada 2 pi, que basta con una, y deberemos sumar ambos radios para obtener la media de sus diámetros que el caso del círculo son indefectiblemente idénticos, por eso nos vale multiplicar por 2. Y ahora sí, escríbanlo como quieran: 2pi r, pi r2, diámetro por pi, radio 1 más radio 2 por pi. Diámetro 1 (eje ¿mayor?) más diámetro 2 (eje ¿menor?) partido entre dos multiplicado por pi.

Escríbanlo como quieran pero sabiendo lo que escriben. Además de funcionar, sabrán lo que están haciendo. Aproximadamente.